• /
  • Экстремум Функции Двух И Более Переменных Примеры Решения Задач Онлайн

Экстремум Функции Двух И Более Переменных Примеры Решения Задач Онлайн

Покажем, как можно, разлагая функцию по формуле Тейлора, узнать, имеет ли на самом деле в указанной точке экстремум и какой (максимум или минимум). Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума -локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами. Для случая функции двух и более переменных необходи­мое условие существования локального экстремума имеет вид, аналогичный (eight.10); все частные производные первого порядка должны обращаться в нуль в точке M0. Докажем, что в случае 1) функция достигает в локального минимума, в случае 2) — локального максимума, в случае же 4) в точке заведомо нет экстремума.

то есть, согласно критерию Сильвестра, представляет собой положительно определённую квадратичную форму.Следовательно, в точке функция имеет минимум. b) Функция непрерывна на ограниченном, замкнутом множестве. Это означает, что в силу TWна рассматриваемом промежутке целевая функция задачи достигает своего наибольшего и наименьшего значения. а) Допустимое множество задачи открыто и неограничено, что делает невозможным применение TW.

Понятие Экстремума Функции

Так, например, у функции , которая как раз задаёт эллиптический параболоид, частные производные обращаются в ноль в точке – и в данной точке действительно существует минимум функции («дно чаши»). Начнём с функции двух переменных , применительно к которой точки экстремума – это точки плоскости , а экстремумы – соответствующие значения функции («высоты»). Также экстремумами иногда называют точки самой поверхности. функции $f$ называются такие точки, в которых $f$ не дифференцируема, либо ее градиент равен нулю. Если точка стационарная, то из этого еще не следует, что в этой точке функция имеет экстремум. в точке $x_ \in E$, если существует такая окрестность $U$ точки $x_$, что для всех $x \in U$ выполняется неравенство $f\left(x\proper ) \geqslant f\left(x_\right)$. в точке $x_ \in E$, если существует такая окрестность $U$ точки $x_$, что для всех $x \in U$ выполняется неравенство $f\left(x\right) \leqslant f\left(x_\proper)$.

Равенство нулю частных производных первого порядка не является достаточным условием существования экстремума функции в точке . Из теоремы Ферма (см. п. 12.1) для функций, определенных в некоторой окрестности точки, сразу следует необходимое условие локального экстремума в этом точке. Если функция имеет в точке локальный экстремум, локальный экстремум то либо производная равна нулю , либо не существует. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то обязательно выполняются условия . Но с другой стороны, если в какой-либо точке производные 1-го порядка равны нулю, то это ещё не значит, что там есть экстремум. Рассмотрим достаточно малую -окрестность точки .

Локальные Экстремумы Функции Двух Переменных

Наконец, в случае 3) вопрос остается открытым — при данной информации функция может иметь экстремум, но может и не иметь его. Точка $x_$ называется точкой локального минимумафункции $f$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности $f \geq f\left(x_\proper)$. Действительно, возьмем, например, функцию . Точка О(zero; 0) будет критической, поскольку частные производные в ней равны нулю. Так как функция равна нулю в точке О, а в любой сколь угодно малой окрестности (О) она принимает как положительные, так и отрицательные значения, то функция не имеет в точке О экстремума.

Любую точку данной окрестности, отличную от , можно представить в виде , где значения не равны нулю одновременнои достаточно малы для локальный экстремум того чтобы точка входила в эту окрестность. Соответственно, точка называется точкой максимума, а значение – максимумом функции.

Необходимые Условия Существования Локального Экстремума

Не бойтесь, если у Вас выйдут подобные результаты, при определении локальных экстремумов такие ситуации допустимы. Если функцияв точкеимеет локальный экстремум, то в этой точке обе частные производные, если они существуют, равны нулю или хотя бы одна из них в этой точке не существует (критические точки функции). Из сказанного следует, что если мы хотим отыскать точки где достигает локального экстремума, мы должны их искать среди точек где либо не имеет какой-либо частной производной, либо имеет их, но они равны нулю.

В случае d) при имеем и можно указать ненулевую точку такую, что Тот же факт получим при заменяя А на, С. Наконец, если то форма очевидно, неопределенная. В случае с) и можно, с одной стороны, подобрать так, что а с другой, положить .

Локальный Экстремум Функций Нескольких Переменных

Напомним, что под производной всегда понимается конечная производная, если специально не оговорено, что допускаются и бесконечные производные (см. п. 10.1). Может случиться, что в точке локального экстремума вообще не существует производной – ни конечной, ни бесконечной (см. рис. 77). В дальнейшем для простоты точки (строгого) локального максимума и минимума функции будем кратко называть ее точками (строгого) максимума и минимума.

локальный экстремум

Точка, в которой экстремум достигается, называется точкой максимума или точкой минимума функции. Если знак неравенства строгий, то экстремум называется строгим локальным, а его точка — точкой строгого локального максимума локальный экстремум или минимума. Если функция определена в некоторой окрестности точки x0и в этой точке производная функции либо существует и равна нулю, либо не существует, то точка x0 называется критической точкой этой функции.